Временной характеристикой называется реакция системы на типовое воздействие при нулевых начальных условиях. В качестве типовых воздействий используют единичный импульс и единичную функцию. На рис. 23. изображен прямоугольный импульс малой длительности с амплитудой 1\ .

Рис. 23. Единичный импульс

Очевидно, что площадь такого импульса равна единице. Устремляя 0, в пределе будем иметь единичный импульс или дельта-функцию (t). Она обладает следующими свойствами:

Реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях называется импульсной характеристикой k_yx(t). Так как свойства стационарной системы с течением времени не меняются, то единичный импульс (t-), приложенный в момент времени t = , вызовет реакцию k_yx(t- ), аналогичную по форме, но сдвинутую по времени на интервал (рис. 24).

Вследствие того, что система линейная, реакция на импульс ad (t - ) будет равна ak_yx(t - ), где а произвольная постоянная. Импульсная характеристика равна нулю до момента приложения воздействия

Рис. 24. Импульсная характеристика

Пусть воздействие x(t) является некоторой функцией, показанной на рис. 25. Представим x(t) в виде суммы прямоугольных импульсов малой длительности , следующих вплотную друг за другом.

Получающаяся при этом ступенчатая функция будет стремиться к точной функции x(t), если устремить 0. При достаточно малой величине каждый из импульсов может приближенно рассматриваться как дельта-функция с площадью x(t _i) . Реакция системы на этот импульс в момент t будет приблизительно равна x(_i)k_yx(t - _i), что показано на рис. 25.

Реакция от всех импульсов, лежащих в интервале от 0 до t, будет равна сумме реакций от каждого из импульсов в отдельности, то есть

Переходя к пределу при 0, N , получаем точное выражение для выходного процесса в виде интеграла свертки

,

.

.

.

y(p) = x(p)K_yx(p).

.

Переходной характеристикой h_yx(t) называется реакция системы при нулевых начальных условиях на единичную функцию

Форма функции h_yx(t) у стационарной системы не зависит от момента приложения воздействия и может иметь колебательный или монотонный характер (рис. 26).

В то же время сама функция h_yx(t) часто используется для суждения о качестве САУ ввиду того, что она наглядна и легко определяется экспериментально. В дальнейшем будет рассмотрена методика оценки качества по виду переходной характеристики.

Рис. 26. Переходная характеристика

Найдем связь между импульсной и переходной характеристиками, для чего воспользуемся интегралом свертки (1.13), положив в нем x(t) = 1(t):

.

,

,

откуда получаем связь между изображением h_yx(p) для переходной характеристики и передаточной функции системы

.

.

Рассмотрим свойства двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Его схема изображена на рис. 27, где буквой Н показана нагрузка двигателя (редуктор, антенна, тахогенератор). Пусть j (t) – угол поворота вала двигателя, а – угловая скорость вращения.

При управлении по якорной цепи задающим будет напряжение u(t) на якорной цепи, а напряжение возбуждения u_в поддерживается постоянным. Предположим, что инерционностью нагрузки и якоря двигателя можно пренебречь, так что скорость его вращения мгновенно устанавливается пропорциональной напряжению на якоре

где k – коэффициент преобразования двигателя, зависящий от его конструкции. По уравнению (16) находим передаточную функцию двигателя по скорости вращения

.

Рис. 27. Схема двигателя постоянного тока

Теперь несколько видоизменим этот пример и будем интересоваться свойствами двигателя не относительно скорости, а относительно угла поворота вала j (t). Напомним, что

,

pj (p) = ku(p),

.

u(t) = 1(t),

.

.

Рис. 28. Импульсная и переходная характеристики интегрирующего звена

математическую модель. Учтем активное сопротивление якоря R и момент инерции нагрузки I. Уравнение электрического равновесия якорной цепи можно записать в виде следующего дифференциального уравнения:

,

где i(t) – ток в цепи якоря; c_1W (t) – противоЭДС, пропорциональная скорости вращения W ; с₁ – коэффициент, зависящий от конструкции двигателя.

,

.

Из второго уравнения выразим функцию i(p) и подставим в первое, после чего получим, что

(19)

Обозначим

.

,

что соответствует последовательно соединенным усилительному звену k и апериодическому 1/(1+pT). Найдем переходную и импульсную характеристики. Вначале по операторному уравнению (19) с учетом обозначений запишем дифференциальное уравнение двигателя

.

u(t) = 1(t),

.

.

Рис. 29. Импульсная и переходная характеристика апериодического звена

Теперь учтем еще один фактор: индуктивность якоря L. Уравнение электрического равновесия якорной цепи усложнится и станет равным

,

.

.

Выражая из второго уравнения функцию i(p) и подставляя в первое, получим одно уравнение

Обозначая ,

.

.

В отличие от предыдущих случаев переходная характеристика колебательного звена зависит от двух параметров: постоянной времени Т и коэффициента демпфирования . Постоянная времени изменяет лишь масштаб функции вдоль оси времени, поэтому график на рис. 30 построен в относительном времени t/T.

Коэффициент демпфирования существенно влияет на форму характеристики. При < 1 переходная характеристика имеет колебательный характер, а при >= 1 – монотонный. Чем меньше , тем ярче выражены колебательные свойства.

Рис. 30. Переходная характеристика колебательного звена

В частном случае при = 0 переходная характеристика становится незатухающей гармонической функцией и при этом передаточная функция равна

.

отражает наличие запаздывания сигнала на время t .

.

Частотные характеристики устанавливают связь между спектрами входного процесса x(jw ) и выходного y(jw ). Спектром называется преобразование Фурье

где F – символ преобразования Фурье, а w - действительная переменная, являющаяся частотой гармонического сигнала.

,

Приводя подобные члены и решая уравнение относительно выходного спектра, получаем формулу связи спектров в виде

.

называется частотной характеристикой системы. Сравнивая выражение (7) для передаточной функции с выражением (1.22), делаем вывод о том, что частотные характеристики и передаточные функции получаются друг из друга путем замены комплексной переменной p на jw и обратно.

При любом значении частоты w функция K_yx(jw ) будет комплексной. Обозначим модуль этой функции через

.

где модуль A_yx(w ) называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент j _yx(w ) – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). АЧХ и ФЧХ являются действительными функциями частоты и поэтому легко отображаются графически. При этом АЧХ определяет относительное изменение амплитуды гармонического воздействия

x(t) = cos w t

.

.

L_yx(w ) = 20 lg A_yx(w ),

изображенная в полулогарифмическом масштабе, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАХ), а функция j _yx(w ), построенная в том же масштабе, называется логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФХ). Полулогарифмическим называется такой масштаб, когда вдоль горизонтальной оси откладывают значения частоты w в логарифмическом масштабе (lgw ), а по вертикальной оси значения L_yx(w ) и j _yxw в линейном масштабе. Единицей измерения L_yx(w ) являются децибелы (дБ), а j _yx(w ) - радианы или градусы.

A_yx(w ) = 10, то L_yx(w ) = 20 дБ.

A_yx(w ) = 1; L_yx(w ) = 0 дБ.

Если A_yx(w ) > 1, то L_yx(w ) > 0 дБ, если же A_yx(w ) < 1, то L_yx(w ) < 0 дБ.

Третьей формой представления частотных характеристик является их изображение на комплексной плоскости. Такие характеристики называются амплитудно-фазовыми (АФХ). Для этого представим комплексную функцию K_yx(w ) в виде суммы ее действительной и мнимой частей

K_yx(jw ) = R_yx(w ) + jI_yx(w ),

где R_yx(w ) = ReK_yx(jw ); I_yx(w ) = I_mK_yx(jw ).

Значения R_yx и I_yx откладываются вдоль координатных осей и функция K_yx(jw ) изображается в виде вектора (рис. 31).

При изменении j от 0 до Ґ конец вектора описывает на плоскости некоторую кривую (годограф), которая и является АФХ.

; .

Таким образом, АЧХ является модулем вектора АФК, а ФЧХ определяет значение ее аргумента. При построении АФХ на годографе стрелкой указывается направление увеличения w .

Рис. 31. Амплитудно-фазовая характеристика

Рассмотрим их изображение в полулогарифмическом масштабе, когда частота w откладывается в логарифмическом масштабе lgw , а амплитуда в линейном масштабе в децибелах (дБ).

Рис. 32. АЧХ усилительного (1), интегрирующего (2) и идеального дифференцирующего (3) звеньев

ЛАХ интегрирующего звена – прямая с отрицательным наклоном, которая пересекает ось 0 дБ в точке w _пер, где выполняется равенство

20 lg k – 20 lgw _пер = 0.

Отсюда получаем координаты точки пересечения w _пер = k.

Рис. 33. ЛАХ усилительного, интегрирующего и идеального дифференцирующего звеньев

Октавой называется расстояние между произвольной частотой w и ее удвоенным значением 2w . В логарифмическом масштабе эта величина при любом значении w будет постоянной:

октава = lg 2w - lg w = lg 2.

Декадой называется расстояние между точками w и 10w . Это тоже величина постоянная:

декада = lg 10w - lg w = lg 10 = 1.

Крутизна наклона прямой в полулогарифмическом масштабе может измеряться в децибелах на октаву или декаду (дБ/окт, дБ/дек). Найдем крутизну ЛАХ интегрирующего звена в этих единицах. Приращение ЛАХ интегрирующего звена D L на октаву или декаду будет равно

L_окт = L_и(2w ) – L_и(w ) = 20lg k – 20lg 2w - 20 lg k +

+ 20 lg w = -20 lg2 = - 6 дБ;

L_дек = L_и(10w ) - L_и(w ) = 20 lg k – 20 lg 10w - 20 lg k + 20 lg w =

Таким образом, наклон прямой L_и(w ) интегрирующего звена равен –6 дБ/окт или –20 дБ/дек. Теперь обратимся к ЛАХ идеального дифференцирующего звена. Из уравнения для нее видно, что это будет прямая с положительным наклоном, равным +6 дБ/окт или +20 дБ/дек. Точка пересечения этой прямой с осью 0 дБ находится из условия

20 lg k + 20 lg w _пер = 0, откуда .

Логарифмические амплитудные частотные характеристики трех указанных звеньев показаны на рис. 33. Логарифмические фазовые частотные характеристики, как следует из выражения (24), соответственно равны 0, -p \2, +p \2. Эти характеристики показаны на рис. 34.

Рис. 34. ЛФХ усилительного, интегрирующего и идеального дифференцирующего звеньев

Как мы увидим в дальнейшем, наклоны ЛАХ остальных типовых звеньев будут кратными величине 6 дБ/окт (20 дБ/дек). Поэтому наклон ± 6 дБ/окт в дальнейшем будем обозначать индексом ± 1.

Тогда наклоны: ± 12 дБ/окт = ± 2, ± 18 дБ/окт = ± 3 и т.д.

Рис. 35. АЧХ апериодического (1) и дифференцирующего (2) звена первого порядка

Аналитические выражения ЛЧХ апериодического звена сложнее, чем у предыдущих. Для приближенного построения ЛАХ удобно воспользоваться так называемым асимптотическими характеристиками. Рассмотрим область низких частот, где w T < < 1 или w < < 1/Т.

L_a(w ) = -20 lg 1 = 0 дБ.

В области высоких частот при w Т > > 1 или w > > 1/Т уравнение высокочастотной асимптоты

L_a(w ) = -20 lg w T = - 20 lg T – 20 lg w .

Из этого уравнения сразу следует, что высокочастотная асимптота ЛАХ будет прямой с наклоном –1, так как ее выражение пропорционально значению –lg w , как и у интегрирующего звена (рис. 36).

Рис. 36. Асимптотическая ЛАХ апериодического и дифференцирующего звена первого порядка

-20 lg T – 20 lg w _пер = 0.

,

,

.

На рис. 37 показан график поправок D L(w ) для асимптотической ЛАХ апериодического звена, построенный в полулогарифмическом масштабе для относительных значений переменной w Т. После построения асимптотической ЛАХ этот график можно использовать для построения точной характеристики.

j _а(w ) = -arctg w T

не представляется возможным. Эта характеристика строится с помощью специальных таблиц или номограмм. Отметим, что ФЧХ изменяется в пределах от 0 до -p /2 и на опорной частоте

.

Рис. 38. ЛФХ апериодического и дифференцирующего звена первого порядка

Частотные характеристики этих звеньев зависят от двух параметров: постоянной времени Т и коэффициента демпфирования . Так, АЧХ колебательного звена при < 1 имеет резонансный, а при >=1 – апериодический характер. На рис. 39 эти характеристики показаны в линейном масштабе.

Рис. 39. АЧХ колебательного звена

Уравнение низкочастотной асимптоты ЛАХ колебательного звена при w Т < < 1 имеет вид

L_к(w ) = -20 lg 1 = 0 дБ.

Высокочастотная асимптота при w Т > > 1 равна

L_к(w ) = -20 lg w ²T² = -40 lg T – 40 lg w .

Итак, низкочастотная асимптота колебательного звена идет вдоль оси 0 дБ, а высокочастотная является прямой с отрицательным наклоном. Так как она пропорциональна величине –40 lg w , то ее наклон равен –12 дБ/окт или просто –2. Точка пересечения асимптот находится из равенства откуда w _пер = 1/Т, то есть вновь является опорной частотой.

-40 lg T – 40 lg w _пер = 0,

Рис. 40. Асимптотическая ЛАХ колебательного звена

Асимптотическая ЛАХ колебательного звена показана на рис. 40. Эта функция не зависит от величины и поэтому аппроксимирует точную характеристику достаточно грубо. График поправок для построения точной ЛАХ показан на рис. 41, где приводится семейство кривых при различных значениях . Фазовая частотная характеристика колебательного звена изменяется в пределах от 0 до - и на опорной частоте равна - \2.

Рис. 41. График поправок для ЛАХ колебательного звена

Ход этой функции зависит от величины (рис. 42). Для ее построения используются таблицы и номограммы. Характеристика дифференцирующего звена второго порядка отличается от только что рассмотренных лишь знаком.

Рис. 42. ЛФХ колебательного звена

K_з(jw ) = e^{-jw t} .

А_з(w ) = 1; j _з(w ) = -w t .

Управляемость и наблюдаемость линейных систем регулирования относятся к основным понятиям теории автоматического регулирования, с помощью которых можно оценивать структурные схемы систем и выполнять их преобразование путем ввода дополнительных сигналов или за счет их исключения. Если в системе автоматического регулирования сигнал управления x(t) представляет собой некоторую совокупность его составляющих x₁(t), …x_m(t) и не превышает число степенной свободы системы, описанной уравнением , то система является неуправляемой. Действительно, в этом случае систему регулирования нельзя перевести из начального состояния y(t₀) в любое время в конечное состояние y(t₁) под действием некоторого входного сигнала х(t). При r > m системы именуют вполне управляемыми.

,

размера n ґ nm, первые m столбцов которой состоят из элементов матрицы В, а следующие m столбцов – из элементов матрицы АВ и т.д., должна иметь ранг n.

полностью наблюдаема, если можно определить начальное состояние y(0) системы по следующим данным:

а) матрицам А и С;

б) выходному сигналу y(t) от начальных условий y(0) при x(t) = 0, заданному на конечном интервале [ 0, tp] .

типа n x nr должна иметь ранг n.

Предыдущий пункт | Наверх | Следующий пункт

| Оглавление |