Гипотезы и аналоги, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам: такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими словами, модель (лат. modulus – мера) – это объект – заместитель объекта – оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.

Для математического моделирования линейных непрерывных САУ используются дифференциальные уравнения.

В непрерывных системах как входные воздействия, так и выходные процессы являются непрерывными функциями. Связь между ними отображается посредством дифференциальных уравнений, имеющих следующий вид:

гдеx(t) иy(t) – задающее воздействие и выходной процесс, а переменные - их производные. Если функцииF₁ иF₂ – нелинейны относительно переменных, то системы будут нелинейными.

В линейных системахF₁ иF₂ – линейные функции. Если они явно зависят от времениt, то системы будут нестационарными. В случае стационарных систем явная зависимость функций и от времени отсутствует. Величина старшей производнойn при выходной переменной в левой части уравнения называется порядком уравнения или порядком системы.

Если стационарная система допускает линеаризацию своих уравнений, то она описывается линейным дифференциальным уравнением следующего вида:

где с иb – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы. Все переменные входят в это уравнение линейно, что обеспечивает системе применимость принципа суперпозиции.

Так, если, то выходной процесс, где каждой паре x_i(t) и y_i(t) соответствует уравнение (2).

Примером уравнения (2) является линеаризированное уравнение:

.

Если обозначить

то мы получим частный случай уравнения (2).

Анализ линейной стационарной системы сводится к нахождению функцииy(t) по заданному воздействиюx(t). Иначе говоря, анализ САУ требует нахождения решения уравнения (2). Из соответствующих разделов высшей математики известно, что решение уравнения (2) состоит из двух слагаемых:

,

гдеy_п(t) переходная составляющая решения или переходный процесс системы, который находится из решения однородного уравнения

при нулевых начальных условиях для самого процесса и его первых (n-1) производных.

Поясним смысл переходного процесса в САУ на примере следящей системы ФАП. Линеаризованное уравнение этой системы равно

где x(t) = j_x(t) – фаза входного воздействия генератора сигнала ГС, а y(t) = = j_y(t) – фаза выходного сигнала подстраиваемого генератора ПГ.

Пусть задающее воздействие x(t) = 0, а в момент включения системы при t = 0 выходная фаза y(t) 0.

Благодаря наличию начального рассогласования

система начинает работать, стремясь обеспечить значение фазы выходного

Так как по условию воздействиеx(t) = 0, то уравнение (4) для переходного процесса примет вид

,

что является однородным уравнением для (4).

Его решение легко находится и имеет вид

.

Экспоненциальный характер переходного процесса показан на рис. 11.

Рис. 11. Переходный и вынужденный процессы в системе ФАП

Теперь займемся вынужденным процессомy_в(t). Он определяется только задающим воздействиемx(t) при нулевых начальных условиях в системе. Для нахожденияy_в(t) надо определить частное решение неоднородного уравнения

при нулевых начальных условиях и заданной функцииx(t).

Для рассмотрения системы ФАП уравнение вынужденного процесса примет вид

.

Для примера положим

Воспользовавшись выражением общего решения дифференциального уравнения первого порядка, можно записать, что

.

Отсюда легко получить вынужденный процесс ФАП, полагая

y(t) = 0; x(t) = a₀ + a₁t:

.

Характер этой зависимости показан на рис. 11. С течением времени при t выходной процесс будет стремиться к функции

,

На основании принципа суперпозиции итоговый процесс в системе

Таким образом, исследование линейных стационарных систем автоматического управления сводится к отдельному исследованию характеристик переходных и вынужденных процессов, методы определения которых, как правило, оказываются различными.

Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (2) с учетом нулевых начальных условий и известного правила

.

В итоге получим оперативное уравнение САУ

.

Решая его относительно изображения выходной переменной, получим

Таким образом, использование преобразования Лапласа переводит дифференциальное уравнение во временной области в алгебраическое уравнение в области комплексной переменнойp, которое легко решается. В этом главное преимущество использования операторного метода.

Чтобы от изображенияy(p) перейти к оригиналуy(t), надо взять обратное преобразование Лапласа

.

Однако искать обратное преобразование от функции y(p) не всегда необходимо, так как ряд свойств функции y(t) можно найти непосредственно по ее изображению.

Функцию:

назовем передаточной функцией системы по задающему воздействию.

Нижние индексы отражают те процессы, между которыми устанавливает соответствие данная передаточная функция. Полиномы числителя P(p) и знаменателя D(p) передаточной функции легко находятся по исходному дифференциальному уравнению (2). Из уравнения (7) следует, что передаточная функция является отношением изображений выходного процесса и входного при нулевых начальных условиях.

Передаточные функции могут определяться для различных воздействий в различных точках их приложения и по отношению к различным процессам внутри системы. Так, на рис. 12. показана система с несколькими воздействиями.

Для нее помимо передаточной функции по задающему воздействию

можно ввести и передаточные функции по возмущающим воздействиям, которые обозначим следующим образом:

Так, можно, в частности, записать передаточные функции.

Нахождение этих передаточных функций требует знания ряда правил и соответствующего изображения схемы САУ.

Выше указывалось, что для анализа систем автоматического управления и регулирования широко используется моделирование. Формы представления моделей САУ могут быть самыми различными. Среди них наиболее распространенными являются:

• представление САУ с помощью дифференциальных или разностных уравнений;
• представление в виде структурных схем с использованием передаточных функций и последующего разбиения на отдельные типовые динамические звенья;
• представление в виде цифровых фильтров для последующего моделирования с помощью ПЭВМ;

представление в форме аналоговых моделей для последующей реализации с использованием операционных усилителей.

Предыдущий пункт | Наверх | Следующий пункт

| Оглавление |