y(t) = y_п (t) + y_в(t),

где y_в(t) - вынужденный процесс, определяемый задающим воздействием, а y_п(t) - переходный процесс, зависящий от начальных условий. Чтобы не усложнять изложения, мы не учитываем в приведенном соотношении возмущающих воздействий. В устойчивой следящей системе переходный процесс с течением времени стремится к нулю, а вынужденный должен быть близок к x(t), исходя из целевого назначения САУ. Примерный вид этих процессов показан на рис. 51.

Из рисунка видно, что можно выделить два участка или режима работы системы, при малых интервалах после начала управления и при больших. Эти режимы отличаются характером процессов и значением ошибок управления. Для начального интервала времени режим называется переходным. В этом режиме вынужденный процесс изменяется от нулевого значения до близкого к задающему x(t), а переходный процесс изменяется от начального значения до нуля. В переходном режиме ошибки управления особенно велики.

Рис.51. Режимы работы системы

Определить границу переходного режима t_п можно несколькими способами, так как это понятие условное. Строго говоря, переходный процесс y_п(t) длится бесконечно долго, стремясь к нулю. Обычно величину t_п связывают с моментом практического окончания переходного процесса, когда

y_п(t_п ) << y(0).

При дальнейших рассуждениях полагаем, что величина t_п тем или иным способом определена.

После окончания переходного режима наступает установившийся режим, когда на выходе практически имеется только вынужденная составляющая y_в(t), близкая к x(t). В установившемся режиме ошибки управления значительно меньше. Это основной режим работы любой автоматической системы. В процессе проектирования стремятся выбрать структуру и параметры системы так, чтобы снизить до допустимого уровня ошибки установившегося режима и при этом обеспечить минимальную длительность переходного. Обычно эти требования противоречат друг другу, и при конструировании САУ приходится идти на компромисс между качеством работы в переходном и установившемся режимах. Указанные причины приводят к тому, что при оценке качества приходится отдельно определять качество управления в переходном и установившемся режимах и сопоставлять их друг с другом. Так как характер работы системы в разных режимах сильно отличается друг от друга, то и методики вычисления критериев качества оказываются различными. С этой точки зрения следует иметь в виду еще один фактор, связанный с характером поступающих на систему воздействий: способы вычисления ошибок управления различны для регулярных и случайных воздействий. В результате приходится излагать несколько способов расчета точности САУ в зависимости от режимов управления и характера воздействий.

характеристике Переходный режим вызван тем, что система инерционна и должна некоторое время приспосабливаться к поступающим на нее воздействиям. В этих условиях оценку качества удобно вести при наиболее тяжелом с точки зрения воспроизведения системой воздействии, таком, как ступенчатая функция А*l(t). Реакция системы на единичную ступенчатую функцию является переходным процессом h(t), по форме которого в простейшем случае и можно судить о качестве переходного режима.

Рис. 52. Показатели качества переходной характеристики

Для характеристик колебательного типа обычно используются следующие показатели: H_m - перерегулирование, которое определяет относительное максимальное отклонение; время установления t_у - момент достижения первого максимума; время регулирования t_р, которое определяет длительность процесса по уровню + 0,05 относительно установившегося значения; период колебаний T.

Для монотонных характеристик наиболее употребительным является показатель длительности переходного процесса t_р. В общем случае точное построение переходных характеристик и, следовательно, определение качества затруднительно. Существует ряд методов, позволяющих приближенно строить переходные характеристики, однако эти методы сложны и приводят к громоздким вычислительным работам. Найти точные значения указанных выше величин удается только для простейших систем первого и второго порядков. Для более сложных следящих систем существуют приближенные формулы их нахождения.

В основе формул лежит знание двух параметров: частоты среза разомкнутой следящей системы w _с  и запаса по фазе.  Эти параметры могут быть найдены аналитически или по логарифмическим частотным характеристикам. Сводка вычислительных соотношений приводится в табл. П. 2.

Локальные критерии качества обычно наглядны, но трудно вычисляются аналитически. Примером тому служат показатели переходной характеристики, рассмотренные выше. Интегральные критерии, особенно квадратичные, достаточно легко вычисляются, однако не так наглядны, как локальные. Обратимся к рис.53, на котором изображены два монотонных переходных процесса. Процесс 1 наименьшей длительности. Об этом может свидетельствовать такой косвенный фактор, как площадь между кривой h(t) и уровнем установившегося значения выходного процесса. Отсюда для оценки качества можно ввести критерий

где через e_п (t) обозначена ошибка переходного режима, представляющая разность между текущим и установившемся значениями переходной характеристики. Чем меньше Q, тем выше качество САУ.

Причем подынтегральная квадратичная функция потерь e_п(t) будет неотрицательной как для монотонных, так и для колебательных процессов.

Рис.53. Сравнение качества переходных характеристик

Рассмотрим методику нахождения интегрального квадратичного критерия переходного режима для регулярного воздействия x(t).

Не прибегая к нахождению оригинала e_х(t), можно найти установившееся значение ошибки управления

Если из полной ошибки e_х(t) вычесть ошибку установившегося режима e_х уст, то получим составляющую, которая равна ошибке переходного режима

е_п(t) = e_х (t) - e_х уст.

е_п(t) 0 при t , так как e_х (t) e_х уст.

На основании известной теоремы Парсеваля, нахождение интегрального квадратичного критерия качества Q переходного режима сводится к вычислению интеграла Парсеваля

(30)

Чтобы вычислить конкретное значение этого интеграла, функцию e_п(p) записывают в виде отношения полиномов

Тогда интеграл будет функцией параметров a , и  b . Значения функций табулированы и для n < 4 приведены в табл. П.3.

где учтено, что изображение от постоянной e_{x уст} равно e _{x уст} /p.

Пример.

x(t) = 1 (t)

x(p)=1/p .

a ₀ = 1+K; a ₁ = T; b ₀ = K; b ₁ = 1+K; b ₂ = T.

Q = I [e _п (p)].

Используя данные табл. П.3. для n = 2, находим значение интеграла

Из этого результата видно, что изменением параметров системы можно в широких пределах изменить величину критерия. Особенно характерны в этом отношении два параметра: R и T.

На практике для регулировки показателей переходного процесса широко используют коэффициент преобразования К элемента, не охваченного внутренней обратной связью. В то же время постоянную времени T усилителя следует подбирать так, чтобы величина первого слагаемого критерия не превышала допустимого уровня.

2.2.4. Системы управления при случайных воздействиях. Характеристики воздействий

X(t) = at; X(t) = bsinw t; u (t) = c e^-xt и т.д.,

где все параметры a, b, c, l, w и т.п. считаются известными.

x (t) = 1 (t)

В самом общем случае воздействия могут состоять из суммы регулярных и случайных составляющих. Рассмотрим характеристики подобных процессов на примере задающего воздействия x(t). Итак, пусть x(t) является случайным процессом. Простейшей характеристикой случайного процесса считается математическое ожидание или среднее значение

m_x(t) = <x (t) >.

x⁰(t) = x (t) – m_x(t) .

Математическое ожидание – это регулярная составляющая процесса x(t), а все статистические свойства процесса определяются его случайной составляющей x⁰(t) . Простейшей характеристикой случайной составляющей служит дисперсия

D_x (t) = < [x⁰ (t)]² >.

При анализе стационарных систем будет рассматривать только стационарные случайные составляющие, у которых дисперсия D_x остается постоянной и от времени не зависит.

Размерность дисперсии равна квадрату размерности процесса x⁰ (t), а размерность СКО совпадает с размерностью процесса. Величина _x служит усредненной мерой оценки амплитуды случайной составляющей. Для большинства случайных процессов вероятность превышения ими уровня 3_x очень мала.

Рис. 54. Реализации случайных процессов

D_x1 = D_x2 = D_x,

R_x (t ) = < x⁰(t) x⁰ (t + t ) >

как среднего от произведения значений процесса в момент t и соседний с ним момент t + t (рис.54). Интервал t может быть положительным или отрицательным. Для стационарных случайных процессов, которые мы рассматриваем, корреляционная функция не зависит от выбора момента t, а является функцией только интервал t . Из рассмотрения рис. 54, а б понятно, что при одних и тех же t для “быстрых” процессов значение R_{x( t )} будет меньше, чем для “медленных”, потому что степень зависимости между x⁰(t) и x⁰ (t + t ) у “быстрых” процессов меньше. Таким образом, для рассматриваемого примера

R_x1 (t ) £ R_{x2 ( t )} .

t = 0, R_x (0) = <[x⁰ (t)]² > = D_x,

то есть значение корреляционной функции при нулевом аргументе равно дисперсии. Для нашего примера получим, что R_x1 (0) = R_x2 (0) = D_x. Примеры корреляционных функций для “быстрых” и “медленных” процессов при одинаковом значении дисперсий показаны на рис. 55. Отметим несколько свойств корреляционных функций стационарных случайных процессов:

R_x(t ) = R_x (-t ) - свойство четности;

R_{x ( t )} <= R_x (0) – свойство невозрастания;

R_{x( t )} 0 при t - асимптотические свойства.

Рис.55. Корреляционные функции

Дополнительно заметим, что R_{x( t )} может принимать и отрицательные значения.

Характеристику случайному процессу можно давать и в частотной области. Для этого используют понятие спектральной плотности S_x(w) . Она получается преобразованием Фурье от корреляционной функции:

S_{x( w )} >= 0 - свойство неотрицательности;

S_{x( w )} = S_x(-w ) - свойство четности;

S_x (w ) 0 при w - асимптотические свойства.

Рис. 56. Спектральные плотности

D_x1 = D_x2

Предположим, что на вход стационарного линейного звена с импульсной характеристикой k(t) и частотной характеристикой

K(jw ) = K (t) e^{-jw t} dt

x(t) = m_x (t) + x⁰ (t)

со стационарной случайной составляющей x⁰(t) и математическим ожиданием m_x (t).

Найдем характеристики выходного процесса y(t) в установившемся режиме.

y(t) = m_y (t) + y⁰ (t).

Рис. 57. Преобразование случайного воздействия

Математическое ожидание выходного процесса m_y(t), то есть его регулярная составляющая, будет определяться только математическим ожиданием входного воздействия m_x(t), а случайная составляющая y⁰(t) – только случайной составляющей x⁰(t). Способ нахождения выходного процесса при регулярном воздействии был нами уже рассмотрен в предыдущем подразделе, поэтому сосредоточим наше внимание на характеристиках преобразования случайной составляющей.

Пусть задана спектральная плотность S_{x( w )} входного воздействия. Запишем окончательное выражение для спектральной плотности выходного процесса

S_{y( w )} = S_{x ( w )} K(jw )K(-jw ).

Стационарное случайное воздействие x⁰(t) со спектральной плотностью S_x(w ) можно представить как результат преобразования белого шума _x(t) с единичной спектральной плотностью

Nx = 1

звеном с частотной характеристикой K_ф (jw ) (рис.58). Такое звено называется формирующим фильтром. Найдем частотную характеристику этого фильтра. Для этого разложим функцию спектральной плотности на два комплексно сопряженных множителя

S_{x( w )} = K_x(jw ) K_x(-jw ).

K_ф (jw ) = R_x (jw ) .

Nx K_ф (jw ) K_ф (- jw ) .

Nx = 1, а K_ф (jw ) = K_x(jw ),

K_x (jw ) K _{x ( -} jw ) = S_{x ( w ) ,}

Рис. 58. Стационарный формирующий фильтр

K_ф (jw ) = K_x (jw ).

Используя понятие формирующего фильтра, преобразование воздействия x⁰(t) со спектральной плотностью S_{x( w )} можно представить как преобразование белого шума _{x (} t) с единичной спектральной плотностью последовательно соединенными формирующим фильтром и исходным звеном (рис.59).

Рис. 59. Преобразование воздействия с учетом формирующего фильтра

и апериодическому звену с постоянной времени T = 1/a.

Приведем анализ точности автоматических систем при случайных воздействиях, когда ошибка управления e(t) будет случайным процессом. Ограничимся рассмотрением того случая, когда случайные составляющие воздействия являются стационарными случайными процессами, а система работает в установившемся режиме.

e(t) = m_e(t) + e(t),

Q = m_e (t) + D_e,

где D_e - дисперсия стационарной случайной составляющей ошибки e(t).

Для оценки точности требуется найти математическое ожидание m_e(t) ошибки управления и дисперсию D_e.

Рассмотрим методику вычисления дисперсии ошибки D_e. Известно уравнение связи между дисперсией и спектральной плотностью ошибки

S_e(w ) = S_ex(w ) + S_ev(w ).

S_ex(w ) = S_x(w ) K_ex(jw ) K_ex(-jw ),

S_ev(w ) = S_v(w ) /K_ev(jw ) K_ev(-jw ).

D_e = D_ex + D_ev ,

S_x(w ) = K_x(jw ) K_x(-jw ),

где K_x(jw ) - частотная характеристика формирующего фильтра.

Заменим переменную jw на p, а дифференциал dw =dp/j . После этого

Данное выражение является интегралом Парсеваля от произведений функций K_x(p)K_ex(p). Таким образом, дисперсия ошибки управления может быть представлена в виде интеграла Парсеваля от произведения передаточной функции формирующего фильтра на передаточную функцию ошибки

D_ex = I [K_x(p) K_ex(p)].

D_ev = I[K_v(p) K_ev(p)].

В частном случае, если воздействие будет белым шумом со спектральной плотностью N_v, вычисление дисперсии ошибки проводится по формуле

D_ev = N_v I [K_ev(p)].

На рис. 60 изображены: АЧХ замкнутой следящей системы A_yx(w ); квадрат этой функции спектральная плотность возмущающего воздействия S_v(w ) и график произведения А²_yx(w )S_v(w ) (т.к. частотная характеристика ошибки от возмущающего воздействия с обратным знаком совпадает с частотной характеристикой замкнутой системы).

Рис.60. Спектральная плотность ошибки от возмущающего воздействия

Дисперсия ошибки пропорциональна площади под кривой S_v(w )A²_yx(w ). При этом очевидно, что чем шире функция A_yx(w ), тем больше будет площадь и тем больше дисперсия ошибки. Иначе говоря, расширение полосы пропускания замкнутой следящей системы приводит к увеличению дисперсии ошибки от возмущающего воздействия. Амплитудно-частотная характеристика A_ex(w ) и квадрат этой функции показаны на рис.61.

Рис.61. Спектральная плотность ошибки от задающего воздействия

Спектр задающего воздействия S_x(w ) узкополосный, и его положение также показано на рисунке.

Чем шире полоса пропускания системы, тем в большем диапазоне функция A_ex(w ) будет близкой к нулю, тем меньше будет площадь под кривой S_x(w )A_ex(w ) и тем меньше будет дисперсия ошибки. Таким образом, ширина полосы пропускания системы различным образом влияет на величину дисперсии ошибок. Расширение полосы уменьшает дисперсию от задающего воздействия, но увеличивает от возмущающего воздействия, приложенного на входе.

2.2.7. Параметрическая оптимизация

Если структура системы определена, то значение критерия качества будет зависеть от значений ее параметров. Под параметрами системы будем понимать такие величины, как коэффициенты преобразования, постоянные времени и т.п. отдельных ее звеньев. Обозначим эти параметры через

g = g ₁, g ₂, g ₃, ... g _r .

Q(g ₁,g ₂, ..., g _r) = Q(g ),

где число r определяет количество параметров, которые мы можем изменять. Как правило, влияние параметров на величину Q неоднозначно. При некоторых значениях

g = g _опт

эта величина может принимать экстремальное значение Qэкс. Если характер экстремума согласуется с целью управления, то параметры, при которых он достигается, называются оптимальными. Например, при оценке точности системы по критерию минимума среднего значения функции потерь оптимальными будут те параметры, при которых величина Q достигает своего минимума

Qэкс = minQ .

где F_i(g ) - некоторые функции от параметров.

Решение задачи параметрической оптимизации с учетом ограничений производится методами математического программирования. Выбор каждого конкретного метода зависит от вида функций Q(g ) и F_i(g ). Если эти функции линейные относительно параметров y, решение ведется методами линейного программирования. Все остальные задачи решаются методами нелинейного программирования. Среди них следует выделить классические методы определения экстремума, градиентные методы, динамическое программирование.

Если ограничения на выбираемые параметры не накладываются, то для отыскания минимума функции Q(g ) используются необходимые условия существования экстремума.

Рассмотрим угломерную следящую систему, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид K(p)=K/p.

Пусть задающее воздействие x(t) будет экспоненциально коррелированным стационарным случайным процессом со спектральной плотностью

Учтем только возмущающее воздействие v(t) от шумов приемника со спектральной плотностью

S_v (w ) = N_v .

D_e = D_ex + D_ev .

D_ex = I[K_x(p) K_ex(p)],

где K_ex(p) - передаточная функция ошибки по задающему воздействию;

K_x(p) - передаточная функция стационарного формирующего фильтра.

В данной задаче имеется только один оптимизируемый параметр g = K.

Рис. 62 Дисперсия ошибки в угломерной системе

Это значение соответствует минимуму Q.